Hasta ahora hemos discutido la idea detrás del bootstrap y como se puede usar para estimar errores estándar. Comenzamos con el error estándar pues es la manera más común para describir la precisión de una estadística.
En términos generales, esperamos que ˉx¯x este a una distancia de μPμP menor a un error estándar el 68% del tiempo, y a menos de 2 errores estándar el 95% del tiempo.
Estos porcentajes están basados el teorema central del límite que nos dice que bajo ciertas condiciones (bastante generales) de PP la distribución de ˉx¯x se aproximará a una distribución normal:
ˉx⋅∼N(μP,σ2P/n)
Veamos algunos ejemplos de como funciona el Teorema del Límite Central, buscamos ver como se aproxima la distribución muestral de la media (cuando las observaciones provienen de distintas distribuciones) a una Normal conforme aumenta el tamaño de muestra. Para esto, aproximamos la distribución muestral de la media usando simulación de la población.
Vale la pena observar que hay distribuciones que requieren un mayor tamaño de muestra nn para lograr una buena aproximación (por ejemplo la log-normal), ¿a qué se debe esto?
Para la opción de Elecciones tenemos una población de tamaño N=143,437N=143,437 y el objetivo es estimar la media del tamaño de la lista nominal de las casillas (datos de las elecciones presidenciales de 2012). Podemos ver como mejora la aproximación Normal de la distribución muestral conforme aumenta el tamaño de muestra nn; sin embargo, también sobresale que no es necesario tomar una muestra demasiado grande (n=60n=60 ya es razonable).
En lo que sigue veremos distintas maneras de construir intervalos de confianza usando bootstrap.
Un intervalo de confianza(1−2α)% para un parámetro θ es un intervalo (a,b) tal que P(a≤θ≤b)=1−2α para todo θ∈Θ.
Y comenzamos con la versión bootstrap del intervalo más popular.
Intervalo Normal con error estándar bootstrap. El intervalo para ^θ con un nivel de confianza de 100⋅(1−2α)% se define como:
(^θ−z(1−α)⋅^seB,^θ+z(1−α)⋅^se).
donde z(α) denota el percentil 100⋅α de una distribución N(0,1).
este intervalo está soportado por el Teorema Central del Límite, sin embargo, no es adecuado cuando ^θ no se distribuye aproximadamente Normal.
El tamaño de la muestra o cálculo de número de observaciones es un proceso vital en la etapa de cronometraje, dado que de este depende en gran medida el nivel de confianza del estudio de tiempos. Este proceso tiene como objetivo determinar el valor del promedio representativo para cada elemento.
Los métodos más utilizados para determinar el número de observaciones son:
Método estadístico
Método tradicional
Método Estadístico.
En las metodologías de determinación del número mínimo de observaciones, se debe asignar
la variación esperada entre los datos de los grupos de control y experimento. Este valor es
tomado, usualmente, de observaciones de estudios análogos, de la literatura, o a partir de
pruebas “cortas” preliminares; sin embargo, esto no siempre será posible, más aún en el caso
en que el objeto de análisis sea una tecnología, metodología, proceso o procedimiento nuevo.
Cuando se evalúa un método, tratamiento, técnica, tecnología y sistema nuevo de manera
aislada, con el objeto de determinar su comportamiento y verificar si funciona de la manera
esperada o, por el contrario, no surte efecto alguno, se está frente a un experimento con un
solo factor; en este caso, no se está evaluando si el filtro del experimento es mejor que el que
actúa como blanco o control, sino que se está poniendo a prueba el nivel de eficacia de un filtro
nuevo.
Sea H un intervalo cualquiera definido sobre la recta real. Definiremos ahora una variable ficticia, XH.
De manera que cada observación de Xt Ileva asociada una observación -con valor o ó 1- de la variable XNr . La función de densidad teórica -desconocida- de Xt asigna una probabilidad pH al intervalo H.
Producir T replicaciones del vector y, implica disponer de una muestra de T “observaciones" de la variable real X. Esta muestra lleva asociada, a su vez, una muestra de tamaño T de la variable Xy .Esta variable sigue una distribución binaria de parámetro pH , así que la suma de las T observaciones de XH , ZH = XH^ +. ,.+ X y T , sigue una distribución binomial b(pH ,^. Es oportuno aquí hacer una adaptación al presente contexto del concepto de estimación precisa de Finster{ 1987) Definición 1. ,ZH /T es una estimación precisa de pN con nivel de imprecisión A y confianza 1-a (can 0< cx < 1).
EI conjunta de precisión [-A, A] es el conjunto de errores de simulación aceptables. En lo que sigue a continuación se intentará determinar cuál es el número de replicaciones mínimo para obtener una estimación de pH can nivel de imprecisión fijo A y confianza 1-a. EI teorema de Moivre (ver por ejemplo Fz. de Trocóniz 1993) prueba que la sucesión b(pH ,1), b(pH ,2),. ..,b(pH , 7^, es asintóticamente normal N{T pH ,T p^ [1- pH ]) de manera que si T pH > 1 S se suele tomar como válida la siguiente aproximación a la distribución de ZH.
4.4 Características estadísticas del estimador lider
Hay una
serie de características deseables en los estimadores para que éstos
constituyan una buena aproximación a los respectivos parámetros. Se trata de
rasgos que podrían entenderse como criterios de calidad de los estimadores.
1. Carencia de sesgo. Se dice que un estimador es insesgado
si el valor esperado de su distribución de probabilidad es igual al parámetro.
Es decir, si es igual a Ө la media de los valores Ê calculados en cada una de
las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño. Si el estadístico Ê es
utilizado como estimador del parámetro Ө, ese estimador carece de sesgo cuando
E(Ê) = Ө Por ejemplo, la media [D] es un estimador insesgado de µ, puesto que
se cumple, tal y como vimos en el capítulo anterior al estudiar la distribución
muestral del estadístico media, que E( [D]) = µ En el caso de la varianza,
suelen manejarse habitualmente dos estimadores: [D] o bien, [D]. Para cada uno
de ellos, el valor esperado resulta ser: [D] El segundo de los estimadores
posee la característica de ser un estimador insesgado de σ2 , razón por la que
suele emplearse con más frecuencia que el primero a la hora de estimar el
parámetro varianza poblacional. Cuando E(Ê) ≠ Ө, decimos que el estimador
sesgado tiene un sesgo positivo si E(Ê) > Ө, o que tiene un sesgo negativo
si E(Ê) < Ө. Un estimador sesgado tenderá a ofrecer sistemáticamente valores
que se alejan en un sentido u otro del parámetro, aunque la muestra sea elegida
aleatoriamente.
2. Consistencia. Un estimador Ê es consistente si, además de
carecer de sesgo, se aproxima cada vez más al valor del parámetro a medida que
aumenta el tamaño de la muestra. Si el tamaño n se hace indefinidamente grande,
los valores de Ê se concentran cada vez más en torno al valor del parámetro,
hasta que con un tamaño 2. muestral infinito obtenemos una varianza del
estimador nula.
Por tanto, un estimador es consistente si cuando n tiende a
infinito se cumple E(Ê) = Ө; var(Ê) = 0 La media es un estimador consistente
del parámetro µ, puesto que se verifican las condiciones anteriores. Es decir.
[D] También se comprueba que los dos estimadores de la varianza, presentados en
el apartado anterior, resultan ser estimadores consistentes de σ2 .
3. Eficiencia. La eficiencia de un estimador está vinculada
a su varianza muestral. Así, para un mismo parámetro Ө, se dice que el
estimador Ê1 es más eficiente que el estimador Ê2 si se cumple var(Ê1) <
var(Ê2) Por tanto, si un estadístico es más eficiente que otro, significa que
varía menos de unas muestras a otras. Se demuestra que la media es un estimador
del parámetro µ más eficiente que la mediana. Del mismo modo, la varianza Sn-12
es un estimador de σ2 más eficiente que Sn 2 .
4. Suficiencia. Un estimador es suficiente cuando en su
cálculo se emplea toda la información de la muestra. Por ejemplo, al calcular
el estimador [D] del correspondiente parámetro poblacional, utilizamos la
fórmula: [D] para cuyo cálculo se tienen en cuenta todas las puntuaciones Xi.
Otro tanto ocurre con los estimadores Sn-12 y Sn 2 de la varianza. Todos ellos
pueden ser considerados estimadores suficientes de los respectivos parámetros.
4.2.
Identificación del estimador determinante (estimador líder) del tamaño de la
simulación.
Por
definición, el valor de una variable cambia conforme avanza la simulación, aunque
se le debe dar un valor inicial. Cabe recordar que el valor de un parámetro
permanece constante; sin embargo, puede cambiar conforme se estudian diferentes
alternativas en otras simulaciones. Determinación de condiciones iniciales La
determinación de condiciones iniciales para las variables es
una decisión táctica importante en la simulación. Lo anterior se debe a
que el modelo se sesga por una serie de valores iniciales hasta que el modelo
llega a un estado estable. Para manejar este problema, los analistas han
seguido varios planteamientos como:
1) Descartar los datos generados durante las
primeras partes de la ejecución,
2) Seleccionar las condiciones iniciales
que reducen la duración del periodo de calentamiento.
3) Seleccionar las
condiciones iniciales que eliminan el sesgo. Sin embargo, para emplear
cualquiera de estas alternativas, el analista debe tener una idea del margen de
datos de salida esperado. Por lo tanto, en cierto sentido, el analistas esta
los resultados. Por otro lado, una de las únicas características de la simulación
es que permite la crítica en el diseño y análisis de la simulación; por lo que
si el analista tiene cierta información que alberga un problema, se debe incluir.
Quizás el planteamiento más común sea continuar la simulación hasta lograr un equilibrio.
En el ejemplo del mercado de pescado, significaría que las ventas simuladas de
pescado corresponden a sus frecuencias relativas históricas. Otro planteamiento
es ejecutar la simulación durante un periodo establecido como 1 mes, 1 año o una
década y ver si las condiciones al final del periodo son razonables. Un tercer
planteamiento es establecer la duración de la ejecución de modo que se
obtenga una muestra suficientemente grande para efectos de pruebas de hipótesis
estadística. Esta alternativa se considera en la siguiente sección. En la
mayoría de las situaciones, el análisis tiene más información
disponible con la cual comparar los resultados de simulación: datos operativos
antiguos del sistema real, datos operativos del desempeño de sistemas
semejantes y la percepción del analista de la operación del sistema real. Sin
embargo, se debe admitir que la información obtenida de estas fuentes
probablemente no sea suficiente para validar las conclusiones derivadas de la
simulación. Por lo tanto, la única prueba real de una simulación es qué
tan bien se desempeña el sistema real después de haber implantado los
resultados del estudio.
4.1. Lista de estimadores a obtener de la simulación.
Hasta ahora hemos estudiado cómo simular probabilidades de elección pero no hemos estudiado las propiedades de los estimadores de los parámetros que se basan en estas probabilidades simuladas. En los casos que hemos presentado, simplemente hemos insertado las probabilidades simuladas en la función log-verosimilitud y hemos maximizada dicha función, de la misma forma que lo habríamos hecho si las probabilidades hubieran sido exactas. Este procedimiento parece intuitivamente razonable. Sin embargo, no hemos mostrado realmente, al menos hasta ahora, que el estimador resultante tenga propiedades deseables, como consistencia, normalidad asintótica o eficiencia. Tampoco hemos explorado la posibilidad de que otras formas de estimación puedan ser preferibles cuando usamos simulación, en lugar de las probabilidades exactas. El propósito de este capítulo es examinar varios métodos de estimación en el contexto de la simulación. Derivaremos las propiedades de estos estimadores y mostraremos las condiciones en las que cada estimador es consistente y asintóticamente equivalente al estimador que obtendríamos si usásemos valores exactos en lugar de simulación. Estas condiciones proporcionan una guía al investigador sobre cómo debe llevarse a cabo la simulación para obtener estimadores con propiedades deseables. El análisis también pone en evidencia las ventajas y limitaciones de cada forma de estimación, facilitando así la elección del investigador entre los diferentes métodos. Las técnicas de simulación en estadística, como son los métodos de Monte Carlo, y los procedimientos de re muestreo conocidos como bootstrap, son de gran utilidad cuando no tenemos expresiones cerradas para calcular medidas de incertidumbre como son la desviación estándar de estimadores y los intervalos de confianza. Estos métodos de simulación permiten obtener estimaciones con menores supuestos que los métodos analíticos, a cambio de un trabajo computacional más intenso. La disponibilidad creciente de los recursos computacionales, hacen de las técnicas de simulación una herramienta de uso creciente. En este trabajo se discuten estas técnicas de simulación, y se ilustran con ejemplos sencillos. En el contexto estadístico, entendemos por simulación, la técnica de muestreo estadístico controlado, que se utiliza conjuntamente con un modelo, para obtener respuestas aproximadas a preguntas que surgen en problemas complejos de tipo probabilista. En metrología, el proceso de medición es de naturaleza probabilística y los modelos de medición con frecuencia son complejos [1]. Estas dos características del proceso de medición, complejidad y aleatoriedad, hacen del análisis de datos de medición un área de oportunidad natural para los métodos de simulación. 4.1.1 Instrumentos de medición
El análisis de la literatura existente arroja un resultado de 17 instrumentos de medida de las actitudes y la ansiedad hacia la estadística. Exceptuando dos instrumentos elaborados a partir de escalas bipolares, a la manera del diferencial semántico de Osgood (Birenbaum y Eylath,1994; Green, 1993), todos los instrumentos revisados son escalas tipo Likert. En lo que sigue vamos a describir breve mente estos cuestionarios, poniendo un mayor énfasis en aquellos que han sido usados más frecuentemente. 4.1.2 Medios de registro de datos
La elección del método depende de la estrategia de recopilación de datos, el tipo de variable, la precisión necesaria, el punto de recopilación y la formación del encuestador. Las vínculos entre
una variable, su origen y los métodos prácticos para su recopilación. Pueden ayudar a escoger métodos apropiados. Los principales métodos de recopilación de datos son:
Registros: los registros y licencias son particularmente valiosos para los censos completos, pero se limitan a variables que cambian lentamente, como el número de embarcaciones pesqueras y sus características.
Cuestionarios: formularios que los encuestados devuelven cumplimentados. Un método poco costoso que resulta útil cuando los índices de alfabetización son altos y los encuestados colaboran.
Entrevistas: formularios que se cumplimentan a lo largo de una entrevista con el encuestado. Más caros que los cuestionarios, pero mejores para preguntas más complejas, y cuando se dan unos índices de alfabetización bajos o se encuentra menos colaboración.
Observaciones directas: la realización de mediciones directas es el método más preciso para todas las variables, como las capturas, pero a menudo resulta caro. Muchos métodos, como los programas de observación, se limitan a la pesca industrial.
Presentación de informes: la principal alternativa a la realización de mediciones directas consiste en pedir a los pescadores y a terceros que presenten informes de sus actividades. La preparación de informes presupone la alfabetización y requiere espíritu de colaboración, pero ello puede reforzarse mediante una obligación legal y mediciones directas. Las técnicas de recogida de la información no son un fin en si mismo, sino que dependen de:
a- El tipo de investigación que se esté haciendo.
b- El tipo de análisis de datos que vamos a utilizar posteriormente.
c- El problema que queramos estudiar.
d- Los objetivos que pretendamos alcanzar con la investigación.
Algunas técnicas se pueden utilizar en distintos diseños, por ejemplo la entrevista se puede utilizar en: investigación acción, en estudios de caso, en investigación etnográfica, etc.
